摘要: 零刚度柔性铰链的旋转刚度近似为零，克服了普通柔性铰链需要驱动力矩的缺陷，可应用于柔性抓手等领域。 以纯扭矩作用下的内外环柔性铰链作为正刚度子系统，研究负刚度机理并匹配正负刚度，可构造零刚度柔性铰链。 提出负刚度旋转机制——曲柄弹簧机构，对其负刚度特性进行建模和分析；通过正负刚度匹配，分析曲柄弹簧机构结构参数对零刚度品质的影响；提出了一种具有可定制刚度和尺寸的线性弹簧——菱形板弹簧弦，建立刚度模型并进行有限元仿真验证；最终完成了紧凑型零刚度柔性铰链样品的​​设计、加工和测试。 测试结果表明：在纯扭矩作用下，±18°在旋转角度范围内，零刚度柔性铰链的旋转刚度平均比内外环柔性铰链低93%。 构造的零刚度柔性铰链结构紧凑，零刚度品质优良；所提出的负刚度旋转机构和线性弹簧对于柔性机构的研究具有很大的参考价值。

0 前言

柔性铰链（轴承）

^[1-2]

依靠柔性单元的弹性变形来传递或转换运动、力和能量，已广泛应用于精密定位等领域。 与传统刚性轴承相比，柔性铰链转动时存在恢复力矩。 因此，驱动单元需要提供输出扭矩来驱动并保持柔性铰链的旋转。 零刚度柔性铰链

^[3]

（零刚度弯曲枢轴，ZSFP）是一种旋转刚度近似为零的柔性旋转接头。 此类柔性铰链可停留在行程范围内的任意位置，又称静平衡柔性铰链

^[4]

，多用于柔性夹具等领域。

基于柔性机构的模块化设计理念，整个零刚度柔性铰链系统可分为正负刚度两个子系统，通过正负刚度的匹配来实现零刚度系统

^[5]

. 其中，正刚度子系统通常为大行程柔性铰链，如十字簧柔性铰链

^[6-7]

、通用三十字簧柔性铰链

^[8-9]

以及内外环柔性铰链

^[10-11]

等。 目前，柔性铰链的研究已经取得了很多成果，因此，设计零刚度柔性铰链的关键是为柔性铰链匹配合适的负刚度模数[3]。

内外环柔性铰链（Inner andoutringflexuralpivots，IORFP）在刚度、精度和温度漂移方面具有优异的特性。 匹配的负刚度模块提供了零刚度柔性铰链的构造方法，最终完成了零刚度柔性铰链的设计、样品加工和测试。

1个曲柄弹簧机构

1.1 负刚度的定义

刚度K的一般定义是弹性元件所承受的载荷F与相应变形dx之间的变化率

K=dF/dx (1)

当弹性元件的载荷增量与相应的变形增量符号相反时，为负刚度。 物理上，负刚度对应于弹性元件的静态不稳定性

^[12]

负刚度机构在柔性静平衡领域发挥着重要作用。 通常，负刚度机构具有以下特征。

(1)机构储备一定的能量或发生一定的变形。

(2)机构处于临界失稳状态。

(3)当机构受到轻微扰动而离开平衡位置时，能释放出较大的力，该力与运动方向相同。

1.2 零刚度柔性铰链的构造原理

利用正负刚度匹配可以构造零刚度柔性铰链，其原理如图2所示。

(1)在纯扭矩作用下，内外环柔性铰链具有近似线性的扭矩-转角关系，如图2a所示。 特别是，当交点位于簧片长度的12.73%时，扭矩-转角关系呈线性关系

^[11]

，此时柔性铰链的恢复力矩Mpivot（顺时针方向）与轴承旋转角度有关θ（逆时针）关系是

Mpivot=(8EI/L)θ (2)

式中，E为材料弹性模量，L为簧片长度，I为截面惯性矩。

(2)根据内外环柔性铰链的旋转刚度模型，匹配负刚度旋转机构，其负刚度特性如图2b所示。

(3) 鉴于负刚度机构的不稳定性

^[12]

，零刚度柔性铰链的刚度应近似为零且大于零，如图2c所示。

1.3 曲柄弹簧机构的定义

根据文献[4]，通过在柔性铰链的移动刚体和固定刚体之间引入预变形弹簧，可以构造零刚度柔性铰链。 对于内、外环柔性铰链如图所示。 如图1所示，在内环和外环之间引入弹簧，即引入弹簧曲柄机构(SCM)。 参照图3所示的曲柄滑块机构，曲柄弹簧机构的相关参数如图4所示。 曲柄弹簧机构由曲柄和弹簧组成（设刚度为k）。 初始角度为弹簧未变形时曲柄AB与底座AC之间的夹角。 R表示曲柄长度，l表示基部长度，并将曲柄长度比定义为r与l的比率，即 = r/l (0<<1).

曲柄弹簧机构的构造需要确定 4 个参数：基础长度 l、曲柄长度比 、初始角度和弹簧刚度 K。

曲柄弹簧机构受力变形如图5a所示，时刻M

_&伽玛；

作用下，曲柄从初始位置AB移动

_贝塔

转向AB

_&伽玛；

，旋转过程中，曲柄相对于水平位置的夹角

_&伽玛；

称为曲柄角。

定性分析表明，曲柄从AB（初始位置，M & 伽玛；零）到 AB0（“死点”地点，米

_&伽玛；

为零），曲柄弹簧机构具有负刚度特性的变形。

1.4 曲柄弹簧机构扭矩与转角的关系

在图中。 5、扭矩M & 伽玛；顺时针为正，曲柄角 & 伽玛；逆时针方向为正，下面对力矩载荷M进行建模分析。

_&伽玛；

带曲柄角

_&伽玛；

建模过程之间的关系是有维度的。

如图5b所示，曲柄AB的扭矩平衡方程 & 列出了伽马值。

式中，F & 伽玛；是弹簧恢复力，d & 伽玛；是 F & 伽玛；到A点。 假设弹簧的位移-载荷关系为

式中，K为弹簧刚度（不一定为常数），δ

x&伽玛；

是弹簧变形量（缩短为正值），δ

x&伽玛；

=|B

_贝塔

C| – |B

_&伽玛；

C|.

联动式(3)(5)，力矩M

_&伽玛；

有角

_&伽玛；

关系是

1.5 曲柄弹簧机构负刚度特性分析

为了便于分析曲柄弹簧机构的负刚度特性（力矩M

_&伽玛；

有角

_&伽玛；

关系），可以假设弹簧具有线性正刚度，则式（4）可以改写为

式中，Kconst为大于零的常数。 柔性铰链的尺寸确定后，底座的长度l也确定了。 因此，假设l为常数，式(6)可改写为

其中 Kconstl2 是大于零的常数，力矩系数 m & 伽玛；维度为一。 通过分析扭矩系数m之间的关系，可以得到曲柄弹簧机构的负刚度特性 & 伽玛；和旋转角度 & 伽玛。

由式(9)可知，图6显示初始角度=π m 之间的关系 & 伽玛；以及曲柄长度比和旋转角度 & 伽玛;, & 伊辛;[0.1, 0.9],& 伽玛；& 伊辛;[0, π]. 图7显示了m之间的关系 & 伽玛；和旋转角度 & 伽玛；对于 = 0.2 和不同的 . 图 8 显示 =π 当，在不同的情况下，m之间的关系 & 伽玛；和角度 & 伽玛。

根据曲柄弹簧机构的定义（1.3节）和式（9），当k和l一定时，m & 伽玛；只与角度有关 & gamma；、曲柄长度比和曲柄初始角度。

(1) 当且仅当 & 伽玛；等于 0 或π 或，米 & 伽玛；等于零； & 伽玛； & 伊辛;[0, ],m & 伽玛；大于零； & 伽玛； & 伊辛;[π],米 & 伽玛；小于零。 & 伊辛;[0, ],m & 伽玛；大于零； & 伽玛；& 伊辛;[π],米 & 伽玛；小于零。

(2) & 伽玛；当[0, ]时，旋转角度 & 伽玛；增加，米 & 伽玛；从零增加到拐点角度 & gamma;0取最大值m & gamma;max，然后逐渐减小。

(3)曲柄弹簧机构负刚度特性范围： & 伽玛；& 伊辛;[0, & 伽马;0]，此时 & 伽玛；增加（逆时针），扭矩M & 伽玛；增加（顺时针）。 拐点角度 & gamma;0为曲柄弹簧机构负刚度特性的最大旋转角度， & 伽玛；0 & 是辛;[0, ];m & gamma;max是最大负矩系数。 给定 和 ，方程 (9) 的推导得出 & 伽玛；0

(4) 初始角度越大， & 伽玛；较大的0，米

_{&伽玛；最大}

大。

(5) 长度比越大， & 伽玛；较小的0，米

_{&伽玛；最大}

大。

特别是，=π曲柄弹簧机构的负刚度特性最好（负刚度角度范围大，可提供的扭矩大）。 =π同时，在不同条件下，最大旋转角度 & 曲柄弹簧机构负刚度特性的gamma； 0和最大负扭矩系数m & 伽玛；最大值列于表 1 中。

2 零刚度柔性铰链的构造

2.1正负刚度匹配如图9所示，n(n 2)组平行曲柄弹簧机构沿圆周均匀分布，形成与内外环柔性铰链匹配的负刚度机构。

以内外环柔性铰链为正刚度子系统，构建零刚度柔性铰链。 为了实现零刚度，匹配正负刚度

同时 (2)、(3)、(6)、(11) 和 & 伽马;=θ，负载F & 可以获得弹簧的伽马值；和位移δx 的关系 & 伽玛；是

根据1.5节，曲柄弹簧机构的负刚度角范围： & 伽玛；& 伊辛;[0, & 伽玛;0]和 & 伽玛；0 & isin;[0, ]，零刚度柔性铰链的行程应小于 & 伽玛；0，即 弹簧始终处于变形状态（δxγ≠0)。 内、外环柔性铰链的转动范围为±0.35 弧度（±20°), 简化三角函数 sin & 伽玛；和余弦 & 伽玛；如下

简化后，弹簧的载荷-位移关系

2.2 正负刚度匹配模型误差分析

评估式(13)简化处理所带来的误差。 根据零刚度柔性铰链实际加工参数（4.2节）：n=3，l=40mm，=π, = 0.2,E = 73 GPa;内外环柔性铰簧尺寸L=46mm，T=0.3mm，W=9.4mm；比较式(12)和(14)简化了前后弹簧的载荷位移关系和相对误差，分别如图10a和10b所示。

如图10所示， & 伽玛；小于 0.35 rad（20°），对荷载-位移曲线进行简化处理引起的相对误差不超过2.0%，式

(13)的简化处理可用于构造零刚度柔性铰链。

2.3 弹簧的刚度特性

假设弹簧的刚度为K，则联立(3)、(6)、(14)

根据零刚度柔性铰链的实际加工参数（4.2节），得到弹簧刚度K随角度的变化曲线 & 伽玛；如图11所示。 特别是，当 & gamma;= 0，K取最小值。

为了设计和加工方便，弹簧采用线性正刚度弹簧，刚度为Kconst。 在整个行程中，若零刚度柔性铰链的总刚度大于等于0，则Kconst应取K中的最小值

式(16)为构造零刚度柔性铰链时线性正刚度弹簧的刚度值。 2.4 零刚度质量分析 所构造的零刚度柔性铰链的载荷-位移关系为

联立式(2)、(8)、(16)可得

为了评价零刚度的质量，将加入负刚度模块前后柔性铰链刚度的降低幅度定义为零刚度质量系数η

η 越接近100%，零刚度的质量越高。 图12是1-η 与曲柄长比和初始角的关系 η 它与并联曲柄弹簧机构的数量n和底座长度l无关，而只与曲柄长度比、旋转角度有关。 & 伽玛；和初始角度。

(1)初始角度增大，零刚度品质提高。

(2)长度比增大，零刚度质量下降。

(3)角度 & 伽玛；增加，零刚度质量降低。

为了提高零刚度柔性铰链的零刚度质量，初始角度应取较大值；曲柄长度比应尽可能小。 同时，根据1.5节的分析结果，如果太小，曲柄弹簧机构提供负刚度的能力就会较弱。 为了提高零刚度柔性铰链的零刚度质量，初始角度=π，曲柄长比=0.2，即4.2节零刚度柔性铰链的实际加工参数。

根据零刚度柔性铰链的实际加工参数（4.2节），内外环柔性铰链与零刚度柔性铰链的扭矩-角度关系如图13所示；刚度的降低就是零刚度质量系数η与角的关系 & 伽玛；如图 14 所示。 由图 14 可知：在 0.35 rad 内（20°）旋转范围内，零刚度柔性铰链的刚度平均降低97%； 0.26 弧度（15°）角点，减少了95%。

3 线性正刚度弹簧设计

零刚度柔性铰链的构造通常是在确定了柔性铰链的尺寸和刚度后，再对曲柄弹簧机构中弹簧的刚度进行反转，因此对弹簧的刚度和尺寸要求比较严格。 另外，初始角度=π，由图5a可知，零刚度柔性铰链转动过程中，弹簧始终处于压缩状态，即“压缩弹簧”.

传统压缩弹簧的刚度和尺寸难以精确定制，应用中往往需要导向机构。 因此，提出了一种刚度和尺寸可定制的弹簧——菱形板簧弦。 菱形板簧串（图15）是由多个菱形板簧串联而成。 具有结构设计自由、定制化程度高的特点。 其加工工艺与柔性铰链一致，均采用精密线切割加工。

3.1 菱形板簧弦载荷-位移模型

由于菱形板簧的对称性，只需对一块板簧进行应力分析，如图16所示。 α 为簧片与水平面的夹角，簧片的长度、宽度和厚度分别为Ld、Wd、Td，f为菱形板簧上的尺寸统一载荷，δy为菱形板弹簧y方向的变形量，力fy和力矩m为单个簧片端部的等效载荷，fv和fw为fy在wov坐标系中的分力。

根据AWTAR的梁变形理论[13]，单簧片尺寸统一的载荷-位移关系

由于刚体对筘片的约束关系，变形前后筘片的端角均为零，即θ = 0. 同时 (20)(22)

式(23)为菱形板弹簧的载荷-位移量纲统一模型。 n2个菱形板簧串联，其载荷-位移模型为

由式(24)可知，当α当d很小时，菱形板簧弦的刚度在典型尺寸和典型载荷下近似线性。

3.2 模型的有限元仿真验证

对菱形板簧的载荷-位移模型进行有限元仿真验证。 使用ANSYS Mechanical APDL 15.0，仿真参数如表2所示，对菱形板簧施加8 N的压力。

菱形板弹簧载荷-位移关系模型结果与仿真结果对比如图 2所示。 17（维度化）。 对于四个不同倾角的菱形板簧，模型与有限元模拟结果的相对误差不超过1.5%。 模型(24)的有效性和准确性得到了验证。

4 零刚度柔性铰链设计与试验

4.1 零刚度柔性铰链参数设计

设计零刚度柔性铰链时，首先应根据使用条件确定柔性铰链的设计参数，然后反算曲柄弹簧机构的相关参数。

4.1.1 柔性铰链参数

内外环柔性铰链的交点位于簧片长度的12.73%处，其参数如表3所示。 代入式(2)，则内外环柔性铰链的扭矩-转角关系为

4.1.2 负刚度机构参数

如图所示。 如图18所示，以曲柄弹簧机构的并联数量n为3，则长度l=40mm由柔性铰链的尺寸决定。 根据2.4节的结论，初始角度=π，曲柄长度比=0.2。 根据方程（16），弹簧的刚度（I .e 菱形板簧弦）为 Kconst = 558.81 N/m (26)

4.1.3 金刚石板簧弦参数

由 l = 40mm, =π,=0.2,弹簧原长度为48mm,最大变形量(& 伽马；= 0) 为 16 毫米。 由于结构限制，单个菱形板簧很难产生如此大的变形。 采用四个串联的菱形板簧（n2=4），单个菱形板簧的刚度为

Kd=4Kconst=2235.2 N/m (27)

根据负刚度机构的尺寸（图18），给定菱形板簧的簧片长度、宽度和簧片倾角，由式（23）和刚度公式（27）可推导出簧片：菱形板簧的厚度。 菱形板弹簧的结构参数如表4所示。

表面4

综上所述，基于曲柄弹簧机构的零刚度柔性铰链的参数已全部确定，如表3和表4所示。

4.2 零刚度柔性铰链样品的​​设计与加工 柔性铰链的加工与测试方法参见文献[8]。 零刚度柔性铰链由负刚度机构和并联的内外环柔性铰链组成。 结构设计如图19所示。

内外环柔性铰链和菱形板簧弦均采用精密线切割机床加工而成。 内外环柔性铰链分层加工组装。 图20是三组菱形板簧串的实物图，图21是组装好的零刚度柔性铰链样品的​​实物图。

4.3 零刚度柔性铰链旋转刚度测试平台 参考文献[8]中的旋转刚度测试方法，搭建零刚度柔性铰链旋转刚度测试平台，如图 22 所示。

4.4 实验数据处理及误差分析

在测试平台上对内外环柔性铰链和零刚度柔性铰链进行旋转刚度测试，测试结果如图23所示。 根据式（19）计算绘制零刚度柔性铰链的零刚度质量曲线，如图 2所示。 24.

测试结果表明，零刚度柔性铰链的旋转刚度接近于零。 与内外环柔性铰链相比，零刚度柔性铰链±0.31 弧度（18°) 刚度平均降低 93%； 0.26 拉德（15°），刚度降低90%。

如图23和图24所示，零刚度质量的测试结果与理论模型结果仍存在一定差距（相对误差小于15%），产生误差的主要原因如下。

(1)三角函数化简引起的模型误差。

(2)摩擦力。 菱形板簧弦与安装轴之间存在摩擦。

(3)处理错误。 簧片实际尺寸存在误差等。

(4)装配错误。 菱形板簧串安装孔与轴之间的间隙、试验平台装置的安装间隙等。

4.5 与典型零刚度柔性铰链的性能比较文献[4]中，采用十字轴弯曲枢轴（CAFP）构造了零刚度柔性铰链ZSFP_CAFP，如图25所示。

零刚度柔性铰链ZSFP_IORFP的比较（图2） 21）和ZSFP_CAFP（图21） 25) 采用内、外环柔性铰链构造

(1)ZSFP_IORFP，结构更加紧凑。

(2) ZSFP_IORFP的转角范围较小。 转角范围受柔性铰链本身转角范围限制； ZSFP_CAFP 的角范围80°, ZSFP_IORFP 角范围40°.

(3) ±18°在拐角范围内，ZSFP_IORFP具有较高的零刚度质量。 ZSFP_CAFP的平均刚度降低了87%，ZSFP_IORFP的平均刚度降低了93%。

5 结论

以纯扭矩作用下的内外环柔性铰链作为正刚度子系统，为了构造零刚度柔性铰链，做了以下工作。

(1)提出负刚度旋转机构——对于曲柄弹簧机构，建立模型（式（6））分析结构参数对其负刚度特性的影响，并给出其负刚度特性的范围（表1）。

（2）通过正负刚度匹配，得到曲柄弹簧机构中弹簧的刚度特性（式（16）），并建立模型（式（19））分析结构参数的影响曲柄弹簧机构对零刚度柔性铰链零刚度质量的影响，理论上，在内外环柔性铰链的可用行程内（±20°），刚度平均降低可达97%。

(3) 提出可定制的刚度“春天”——建立菱形板簧弦，建立其刚度模型（式（23）），并采用有限元法进行验证。

(4)完成了紧凑型零刚度柔性铰链样品的​​设计、加工和测试。 试验结果表明：在纯扭矩作用下，36°在旋转角度范围内，与内外环柔性铰链相比，零刚度柔性铰链的刚度平均降低了93%。

构造的零刚度柔性铰链仅在纯扭矩作用下，即可实现“零刚度”，无需考虑轴承复杂载荷条件的情况。 因此，复杂载荷条件下零刚度柔性铰链的构建是进一步研究的重点。 此外，减少零刚度柔性铰链运动过程中存在的摩擦力是零刚度柔性铰链的一个重要优化方向。

参考

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作者简介：毕树生（通讯作者），男，1966年出生，博士，教授，博士生导师。 主要研究方向为全柔性机构与仿生机器人。