摘要: 零剛度柔性鉸鏈的旋轉剛度近似為零，克服了普通柔性鉸鏈需要驅動力矩的缺陷，可應用於柔性抓手等領域。 以純扭矩作用下的內外環柔性鉸鏈作為正剛度子系統，研究負剛度機制並匹配正負剛度，可建構零剛度柔性鉸鏈。 提出負剛度旋轉機制——曲柄彈簧機構，對其負剛度特性進行建模和分析；透過正負剛度匹配，分析曲柄彈簧機構結構參數對零剛度品質的影響；提出了一種具有可自訂剛度和尺寸的線性彈簧——菱形板彈簧弦，建立剛度模型並進行有限元素模擬驗證；最終完成了緊湊型零剛度柔性鉸鏈樣品的設計、加工和測試。 測試結果顯示：在純扭矩作用下，±18°在旋轉角度範圍內，零剛度柔性鉸鏈的旋轉剛度平均比內外環柔性鉸鏈低93%。 構造的零剛度柔性鉸鏈結構緊湊，零剛度品質優良；所提出的負剛度旋轉機構和線性彈簧對於柔性機構的研究具有很大的參考價值。

0 前言

柔性鉸鏈（軸承）

^[1-2]

依靠柔性單元的彈性變形來傳遞或轉換運動、力和能量，已廣泛應用於精密定位等領域。 與傳統剛性軸承相比，柔性鉸鏈轉動時存在恢復力矩。 因此，驅動單元需要提供輸出扭矩來驅動並保持柔性鉸鏈的旋轉。 零剛度柔性鉸鏈

^[3]

（零剛度彎曲樞軸，ZSFP）是一種旋轉剛度近似為零的柔性旋轉接頭。 此類柔性鉸鏈可停留在行程範圍內的任意位置，又稱靜平衡柔性鉸鏈

^[4]

，多用於柔性夾具等領域。

基於柔性機構的模組化設計概念，整個零剛度柔性鉸鏈系統可分為正負剛度兩個子系統，透過正負剛度的匹配來實現零剛度系統

^[5]

. 其中，正剛度子系統通常為大行程柔性鉸鏈，如十字簧柔性鉸鏈

^[6-7]

、通用三十字簧柔性鉸鏈

^[8-9]

以及內外環柔性鉸鏈

^[10-11]

等。 目前，柔性鉸鏈的研究已經取得了許多成果，因此，設計零剛度柔性鉸鏈的關鍵是為柔性鉸鏈匹配合適的負剛度模數[3]。

內外環柔性鉸鏈（Inner andoutringflexuralpivots，IORFP）在剛度、精度和溫度漂移方面具有優異的特性。 相符的負剛度模組提供了零剛度柔性鉸鏈的構造方法，最終完成了零剛度柔性鉸鏈的設計、樣品加工和測試。

1個曲柄彈簧機構

1.1 負剛度的定義

剛度K的一般定義是彈性元件所承受的載重F與對應變形dx之間的變化率

K=dF/dx (1)

當彈性元件的載重增量與對應的變形增量符號相反時，為負剛度。 物理上，負剛度對應於彈性元件的靜態不穩定性

^[12]

負剛度機構在柔性靜平衡領域發揮重要作用。 通常，負剛度機構具有​​以下特徵。

(1)機構儲備一定的能量或發生一定的變形。

(2)機構處於臨界失穩狀態。

(3)當機構受到輕微擾動而離開平衡位置時，能釋放出較大的力，該力與運動方向相同。

1.2 零剛度柔性鉸鏈的構造原理

利用正負剛度匹配可以建構零剛度柔性鉸鏈，其原理如圖2所示。

(1)在純扭力作用下，內外環柔性鉸鏈具有近似線性的扭矩-轉角關係，如圖2a所示。 特別是，當交點位於簧片長度的12.73%時，扭矩-轉角關係呈線性關係

^[11]

，此時柔性鉸鏈的恢復力矩Mpivot（順時針方向）與軸承旋轉角度有關θ（逆時針）關係是

Mpivot=(8EI/L)θ (2)

式中，E為材料彈性模量，L為簧片長度，I為截面慣性矩。

(2)根據內外環柔性鉸鏈的旋轉剛度模型，配對負剛度旋轉機構，其負剛度特性如圖2b所示。

(3) 鑑於負剛度機構的不穩定性

^[12]

，零剛度柔性鉸鏈的剛度應近似為零且大於零，如圖2c所示。

1.3 曲柄彈簧機構的定義

根據文獻[4]，透過在柔性鉸鏈的移動剛體和固定剛體之間引入預變形彈簧，可以建構零剛度柔性鉸鏈。 對於內、外環柔性鉸鏈如圖所示。 如圖1所示，在內環和外環之間引入彈簧，即引入彈簧曲柄機構(SCM)。 參考圖3所示的曲柄滑塊機構，曲柄彈簧機構的相關參數如圖4所示。 曲柄彈簧機構由曲柄和彈簧組成（設剛度為k）。 初始角度為彈簧未變形時曲柄AB與底座AC之間的夾角。 R表示曲柄長度，l表示基部長度，並將曲柄長度比定義為r與l的比率，即 = r/l (0<<1).

曲柄彈簧機構的構造需要確定 4 個參數：基礎長度 l、曲柄長度比 、初始角度和彈簧剛度 K。

曲柄彈簧機構受力變形如圖5a所示，時刻M

_&伽瑪；

作用下，曲柄從初始位置AB移動

_貝塔

轉向AB

_&伽瑪；

，在旋轉過程中，曲柄相對於水平位置的夾角

_&伽瑪；

稱為曲柄角。

定性分析表明，曲柄從AB（初始位置，M & 伽瑪；零）到 AB0（“死點”地點，米

_&伽瑪；

為零），曲柄彈簧機構具有負剛度特性的變形。

1.4 曲柄彈簧機構扭矩與轉角的關係

在圖中。 5、扭力M & 伽瑪；順時針為正，曲柄角 & 伽瑪；逆時針方向為正，下面對力矩載重M進行建模分析。

_&伽瑪；

帶曲柄角

_&伽瑪；

建模過程之間的關係是有維度的。

如圖5b所示，曲柄AB的扭矩平衡方程 & 列出了伽馬值。

式中，F & 伽瑪；是彈簧恢復力，d & 伽瑪；是 F & 伽瑪；到A點。 假設彈簧的位移-載重關係為

式中，K為彈簧剛度（不一定為常數），δ

x&伽瑪；

是彈簧變形量（縮短為正值），δ

x&伽瑪；

=|B

_貝塔

C| – |B

_&伽瑪；

C|.

連動式(3)(5)，力矩M

_&伽瑪；

有角

_&伽瑪；

關係是

1.5 曲柄彈簧機構負剛度特性分析

為了便於分析曲柄彈簧機構的負剛度特性（力矩M

_&伽瑪；

有角

_&伽瑪；

關係），可以假設彈簧具有線性正剛度，則式（4）可以改寫為

式中，Kconst為大於零的常數。 柔性鉸鏈的尺寸確定後，底座的長度l也確定了。 因此，假設l為常數，式(6)可改寫為

其中 Kconstl2 是大於零的常數，力矩係數 m & 伽瑪；維度為一。 透過分析扭力係數m之間的關係，可以得到曲柄彈簧機構的負剛度特性 & 伽瑪；和旋轉角度 & 伽瑪。

由式(9)可知，圖6顯示初始角度=π m 之間的關係 & 伽瑪；以及曲柄長度比和旋轉角度 & 伽瑪;, & 伊辛;[0.1, 0.9],& 伽瑪；& 伊辛;[0, π]. 圖7顯示了m之間的關係 & 伽瑪；和旋轉角度 & 伽瑪；對於 = 0.2 和不同的 . 圖 8 顯示 =π 當，在不同的情況下，m之間的關係 & 伽瑪；和角度 & 伽瑪。

根據曲柄彈簧機構的定義（1.3節）和式（9），當k和l一定時，m & 伽瑪；只與角度有關 & gamma；、曲柄長度比和曲柄初始角度。

(1) 當且僅當 & 伽瑪；等於 0 或π 或，米 & 伽瑪；等於零； & 伽瑪； & 伊辛;[0, ],m & 伽瑪；大於零； & 伽瑪； & 伊辛;[π],米 & 伽瑪；小於零。 & 伊辛;[0, ],m & 伽瑪；大於零； & 伽瑪；& 伊辛;[π],米 & 伽瑪；小於零。

(2) & 伽瑪；當[0, ]時，旋轉角度 & 伽瑪；增加，米 & 伽瑪；從零增加到拐點角度 & gamma;0取最大值m & gamma;max，然後逐漸減少。

(3)曲柄彈簧機構負剛度特性範圍: & 伽瑪；& 伊辛;[0, & 伽瑪;0]，此時 & 伽瑪；增加（逆時針），扭力M & 伽瑪；增加（順時針）。 轉折點角度 & gamma;0為曲柄彈簧機構負剛度特性的最大旋轉角度， & 伽瑪；0 & 是辛;[0, ];m & gamma;max是最大負矩係數。 給定 和 ，方程式 (9) 的推導得出 & 伽瑪；0

(4) 初始角度越大， & 伽瑪；較大的0，米

_{&伽瑪；最大}

大。

(5) 長度比越大， & 伽瑪；較小的0，米

_{&伽瑪；最大}

大。

特別是，=π曲柄彈簧機構的負剛度特性最好（負剛度角度範圍大，可提供的扭力大）。 =π同時，在不同條件下，最大旋轉角度 & 曲柄彈簧機構負剛度特性的gamma； 0和最大負扭力係數m & 伽瑪；最大值列於表 1 中。

2 零剛度柔性鉸鏈的構造

2.1正負剛度匹配如圖9所示，n(n 2)組平行曲柄彈簧機構沿圓週均勻分佈，形成與內外環柔性鉸鏈匹配的負剛度機構。

以內外環柔性鉸鏈為正剛度子系統，建構零剛度柔性鉸鏈。 為了實現零剛度，匹配正負剛度

同時 (2)、(3)、(6)、(11) 和 & 伽瑪;=θ，負載F & 可以得到彈簧的伽瑪值；和位移δx 的關係 & 伽瑪；是

根據1.5節，曲柄彈簧機構的負剛度角範圍: & 伽瑪；& 伊辛;[0, & 伽瑪;0]和 & 伽瑪；0 & isin;[0, ]，零剛度柔性鉸鏈的行程應小於 & 伽瑪；0，即 彈簧始終處於變形狀態（δxγ≠0)。 內、外環柔性鉸鏈的轉動範圍為±0.35 弧度（±20°), 簡化三角函數 sin & 伽瑪；和餘弦 & 伽瑪；如下

簡化後，彈簧的載重-位移關係

2.2 正負剛度匹配模型誤差分析

評估式(13)簡化處理所帶來的誤差。 根據零剛度柔性鉸鏈實際加工參數（4.2節）：n=3，l=40mm，=π, = 0.2,E = 73 GPa;內外環柔性鉸簧尺寸L=46mm，T=0.3mm，W=9.4mm；比較式(12)和(14)簡化了前後彈簧的載重位移關係和相對誤差，分別如圖10a和10b所示。

如圖10所示， & 伽瑪；小於 0.35 rad（20°），對荷載-位移曲線進行簡化處理所引起的相對誤差不超過2.0%，式

(13)的簡化處理可用來建構零剛度柔性鉸鏈。

2.3 彈簧的剛度特性

假設彈簧的剛度為K，則聯立(3)、(6)、(14)

根據零剛度柔性鉸鏈的實際加工參數（4.2節），得到彈簧剛度K隨角度的變化曲線 & 伽瑪；如圖11所示。 特別是，當 & gamma;= 0，K取最小值。

為了設計和加工方便，彈簧採用線性正剛度彈簧，剛度為Kconst。 在整個行程中，若零剛度柔性鉸鏈的總剛度大於等於0，則Kconst應取K中的最小值

式(16)為構造零剛度柔性鉸鏈時線性正剛度彈簧的剛度值。 2.4 零剛度質量分析 所構造的零剛度柔性鉸鏈的載重-位移關係為

聯立式(2)、(8)、(16)可得

為了評估零剛度的質量，將加入負剛度模組前後柔性鉸鏈剛度的降低幅度定義為零剛度質量係數η

η 越接近100%，零剛度的品質越高。 圖12是1-η 與曲柄長比和初始角的關係 η 它與並聯曲柄彈簧機構的數量n和底座長度l無關，而只與曲柄長度比、旋轉角度有關。 & 伽瑪；和初始角度。

(1)初始角度增大，零剛度品質提升。

(2)長度比增大，零剛度質量下降。

(3)角度 & 伽瑪；增加，零剛度質量降低。

為了提高零剛度柔性鉸鏈的零剛度質量，初始角度應取較大值；曲柄長度比應盡可能小。 同時，根據1.5節的分析結果，如果太小，曲柄彈簧機構提供負剛度的能力就會較弱。 為了提高零剛度柔性鉸鏈的零剛度質量，初始角度=π，曲柄長比=0.2，即4.2節零剛度柔性鉸鏈的實際加工參數。

根據零剛度柔性鉸鏈的實際加工參數（4.2節），內外環柔性鉸鏈與零剛度柔性鉸鏈的扭矩-角度關係如圖13所示；剛度的降低就是零剛度質量係數η與角的關係 & 伽瑪；如圖 14 所示。 由圖 14 可知：在 0.35 rad 內（20°）旋轉範圍內，零剛度柔性鉸鏈的剛度平均降低97%； 0.26 弧度（15°）角點，減少了95%。

3 線性正剛度彈簧設計

零剛度柔性鉸鏈的構造通常是在確定了柔性鉸鏈的尺寸和剛度後，再對曲柄彈簧機構中彈簧的剛度進行反轉，因此對彈簧的剛度和尺寸要求比較嚴格。 另外，初始角度=π，由圖5a可知，零剛度柔性鉸鏈轉動過程中，彈簧始終處於壓縮狀態，即“壓縮彈簧”.

傳統壓縮彈簧的剛度和尺寸難以精確定制，應用中往往需要導引機構。 因此，提出了一種剛度和尺寸可定制的彈簧——菱形板簧弦。 菱形板簧串（圖15）是由多個菱形板簧串聯而成。 具有結構設計自由、客製化程度高的特點。 其加工製程與柔性鉸鏈一致，均採用精密線切割加工。

3.1 菱形板簧弦載重-位移模型

由於菱形板簧的對稱性，只需對一塊板簧進行應力分析，如圖16所示。 α 為簧片與水平面的夾角，簧片的長度、寬度與厚度分別為Ld、Wd、Td，f為菱形板簧上的尺寸統一載重，δy為菱形板彈簧y方向的變形量，力fy和力矩m為單一簧片端部的等效載重，fv和fw為fy在wov座標系的分力。

根據AWTAR的梁變形理論[13]，單簧片尺寸統一的載重-位移關係

由於剛體對筘片的約束關係，變形前後筘片的端角皆為零，即θ = 0. 同時 (20)(22)

式(23)為菱形板彈簧的載重-位移量綱統一模型。 n2個菱形板簧串聯，其載重-位移模型為

由式(24)可知，當α當d很小時，菱形板簧弦的剛度在典型尺寸和典型載重下近似線性。

3.2 模型的有限元素模擬驗證

對菱形板簧的載重-位移模型進行有限元素模擬驗證。 使用ANSYS Mechanical APDL 15.0，模擬參數如表2所示，對菱形板簧施加8 N的壓力。

菱形板彈簧載重-位移關係模型結果與模擬結果比較如圖 2所示。 17（維度化）。 對於四個不同傾角的菱形板簧，模型與有限元素模擬結果的相對誤差不超過1.5%。 模型(24)的有效性和準確性得到了驗證。

4 零剛度柔性鉸鏈設計與試驗

4.1 零剛度柔性鉸鏈參數設計

設計零剛度柔性鉸鏈時，首先應根據使用條件確定柔性鉸鏈的設計參數，然後反算曲柄彈簧機構的相關參數。

4.1.1 柔性鉸鏈參數

內外環柔性鉸鏈的交點位於簧片長度的12.73%處，其參數如表3所示。 代入式(2)，則內外環柔性鉸鏈的扭矩-轉角關係為

4.1.2 負剛度機構參數

如圖所示。 如圖18所示，以曲柄彈簧機構的並聯數量n為3，則長度l=40mm由柔性鉸鏈的尺寸決定。 根據2.4節的結論，初始角度=π，曲柄長度比=0.2。 根據方程式（16），彈簧的剛度（I .e 菱形板簧弦）為 Kconst = 558.81 N/m (26)

4.1.3 金剛石板簧弦參數

由 l = 40mm, =π,=0.2,彈簧原長度為48mm,最大變形量(& 伽馬；= 0) 為 16 毫米。 由於結構限制，單一菱形板簧很難產生如此大的變形。 採用四支串連的菱形板簧（n2=4），單一菱形板簧的剛度為

Kd=4Kconst=2235.2 N/m (27)

根據負剛度機構的尺寸（圖18），給定菱形板簧的簧片長度、寬度和簧片傾角，由式（23）和剛度公式（27）可推導出簧片：菱形板簧的厚度。 菱形板彈簧的結構參數如表4所示。

錶面4

綜上所述，基於曲柄彈簧機構的零剛度柔性鉸鏈的參數已全部確定，如表3和表4所示。

4.2 零剛度柔性鉸鏈樣品的設計與加工 柔性鉸鏈的加工與測試方法請參考文獻[8]。 零剛度柔性鉸鏈由負剛度機構和並聯的內外環柔性鉸鏈組成。 結構設計如圖19所示。

內外環柔性鉸鍊和菱形板簧弦均採用精密線切割工具機加工而成。 內外環柔性鉸鏈分層加工組裝。 圖20是三組菱形板簧串的實物圖，圖21是組裝好的零剛度柔性鉸鏈樣品的實體圖。

4.3 零剛度柔性鉸鏈旋轉剛度測試平台 參考文獻[8]中的旋轉剛度測試方法，建立零剛度柔性鉸鏈旋轉剛度測試平台，如圖 22 所示。

4.4 實驗數據處理及誤差分析

在測試平台上對內外環柔性鉸鍊和零剛度柔性鉸鏈進行旋轉剛度測試，測試結果如圖23所示。 根據式（19）計算繪製零剛度柔性鉸鏈的零剛度質量曲線，如圖 2所示。 24.

測試結果表明，零剛度柔性鉸鏈的旋轉剛度接近零。 與內外環柔性鉸鏈相比，零剛度柔性鉸鏈±0.31 弧度（18°) 剛度平均降低 93%； 0.26 拉德（15°），剛度降低90%。

如圖23、圖24所示，零剛度品質的測試結果與理論模型結果仍有一定差距（相對誤差小於15%），產生誤差的主要原因如下。

(1)三角函數化簡所引起的模型誤差。

(2)摩擦力。 菱形板簧弦與安裝軸之間存在摩擦。

(3)處理錯誤。 簧片實際尺寸存在誤差等。

(4)裝配錯誤。 菱形板簧串安裝孔與軸心之間的間隙、試驗平台裝置的安裝間隙等。

4.5 與典型零剛度柔性鉸鏈的性能比較文獻[4]中，採用十字軸彎曲樞軸（CAFP）構造了零剛度柔性鉸鏈ZSFP_CAFP，如圖25所示。

零剛度柔性鉸鏈ZSFP_IORFP的比較（圖2） 21）和ZSFP_CAFP（圖21） 25) 採用內、外環柔性鉸鏈構造

(1)ZSFP_IORFP，結構更加緊湊。

(2) ZSFP_IORFP的轉角範圍較小。 轉角範圍受柔性鉸鏈本身轉角範圍限制； ZSFP_CAFP 的角範圍80°, ZSFP_IORFP 角範圍40°.

(3) ±18°在轉角範圍內，ZSFP_IORFP具有較高的零剛度品質。 ZSFP_CAFP的平均剛度降低了87%，ZSFP_IORFP的平均剛度降低了93%。

5 結論

以純扭矩作用下的內外環柔性鉸鏈作為正剛度子系統，為了構造零剛度柔性鉸鏈，做了以下工作。

(1)提出負剛度旋轉機構——對於曲柄彈簧機構，建立模型（式（6））分析結構參數對其負剛度特性的影響，並給出其負剛度特性的範圍（表1）。

（2）透過正負剛度匹配，得到曲柄彈簧機構中彈簧的剛度特性（式（16）），並建立模型（式（19））分析結構參數的影響曲柄彈簧機構對零剛度柔性鉸鏈零剛度質量的影響，理論上，在內外環柔性鉸鏈的可用行程內（±20°），剛度平均降低可達97%。

(3) 提出可客製化的剛度“春天”——建立菱形板簧弦，建立其剛度模型（式（23）），並採用有限元素法進行驗證。

(4)完成了緊湊型零剛度柔性鉸鏈樣品的設計、加工和測試。 試驗結果顯示：在純扭矩作用下，36°在旋轉角度範圍內，與內外環柔性鉸鏈相比，零剛度柔性鉸鏈的剛度平均降低了93%。

構造的零剛度柔性鉸鏈僅在純扭矩作用下，即可實現“零剛度”，無需考慮軸承複雜負荷條件的情況。 因此，在複雜載重條件下零剛度柔性鉸鏈的建構是進一步研究的重點。 此外，減少零剛度柔性鉸鏈運動過程中存在的摩擦力是零剛度柔性鉸鏈的一個重要最佳化方向。

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作者簡介：畢樹生（通訊作者），男，1966年出生，博士，教授，博士生導師。 主要研究方向為全柔性機構與仿生機器人。